משוואות עם לוגריתמיםחוקי לוגריתמים · 572 · שיעור 2
חוקי לוגריתמים · 5 יחידות · שאלון 572
משוואות עם לוגריתמים
פרק: חוקי לוגריתמים
1התרגילים
2שתי השיטות בקצרה
3תרגיל 1
4תרגיל 2 – הצבה
5תרגיל 3
6תרגיל 4 – מעבר בסיס
7תרגיל 5 – בגרות 572 קיץ 2023 מועד ב׳
8תרגיל 6 – בגרות 572 קיץ 2026 מועד א׳
📄 התרגילים
תרגיל 1. פתרו: 2x + 1 = 3x .
תרגיל 2. פתרו: e2x − 5ex + 6 = 0 .
תרגיל 3. פתרו: log2x + log2(x − 2) = 3 .
תרגיל 4. פתרו: log2x + log4x = 6 .
תרגיל 5. (בגרות 572 קיץ 2023 מועד ב׳, שאלה 4 סעיף א(3)) נתונה הפונקציה f(x) = ln x + ln aln x − ln a , a > 1 . מצאו את נקודת החיתוך עם ציר ה־x .
📄 התרגילים · המשך
תרגיל 6. (בגרות 572 קיץ 2026 מועד א׳, שאלה 4 סעיף ו) בפתרון הגיעו למשוואה ln 2 − ln(3 − a) = ln 10 , כאשר 1 < a < 3 . מצאו את a .
שתי השיטות בקצרה
משוואה מעריכית: מבודדים חזקה ומוציאים ln משני האגפים. כשיש e2x ו־ex – מציבים t = ex .
ax = b ⟹ x = ln bln a
📐 פתרון משוואה מעריכית
משוואה עם לוגריתמים: (1) תחום הגדרה, (2) לוגריתם אחד בכל צד, (3) משווים, (4) בודקים בתחום.
logaA = logaB ⟹ A = B
📐 שוויון לוגריתמים
📐 פתרון משוואה מעריכית
ax = b ⟹ x = ln bln a
📐 שוויון לוגריתמים
logaA = logaB ⟹ A = B
תרגיל 1
ln(2x + 1) = ln(3x)
(x + 1) · ln 2 = x · ln 3
📐 לוגריתם של חזקה
x · ln 2 + ln 2 = x · ln 3
ln 2 = x(ln 3 − ln 2)
x = ln 2ln 3 − ln 2 = 0.69310.4055 ≈ 1.71
✅ פתרון סופי: x ≈ 1.71
📐 לוגריתם של חזקה
loga(xn) = n · logax
תרגיל 2 – הצבה
e2x = (ex)2
📐 חזקה של חזקה
נציב t = ex :
t2 − 5t + 6 = 0
(t − 2)(t − 3) = 0 ⟹ t = 2 , t = 3
📐 מכפלה שווה 0
ex = 2 ⟹ x = ln 2 ≈ 0.69
📐 הקשר בין ln ל־e
ex = 3 ⟹ x = ln 3 ≈ 1.10
📐 חזקה של חזקה
(am)n = am·n
📐 מכפלה שווה 0
מכפלה שווה 0 כאשר אחד הגורמים שווה 0
📐 הקשר בין ln ל־e
ln(ec) = c
eln b = b
eln b = b
תרגיל 2 – הצבה · המשך
ex = 3 ⟹ x = ln 3 ≈ 1.10
✅ פתרון סופי: x = ln 2 ≈ 0.69 , x = ln 3 ≈ 1.10
תרגיל 3
x > 0 , x − 2 > 0 ⟹ x > 2
📐 תחום הגדרה של לוגריתם
log2(x(x − 2)) = 3
📐 לוגריתם של מכפלה
x(x − 2) = 23 = 8
📐 הגדרת הלוגריתם
x2 − 2x − 8 = 0 ⟹ (x − 4)(x + 2) = 0
📐 מכפלה שווה 0
x = 4 – בתחום ✓
x = −2 – לא בתחום, נפסל ✗
📐 תחום הגדרה של לוגריתם
logaA מוגדר רק כאשר A > 0
📐 לוגריתם של מכפלה
loga(x · y) = logax + logay
📐 הגדרת הלוגריתם
logab = c ⟺ ac = b
כאשר a > 0 , a ≠ 1 , b > 0
כאשר a > 0 , a ≠ 1 , b > 0
📐 מכפלה שווה 0
מכפלה שווה 0 כאשר אחד הגורמים שווה 0
תרגיל 3 · המשך
x = −2 – לא בתחום, נפסל ✗
✅ פתרון סופי: x = 4
תרגיל 4 – מעבר בסיס
מעבירים את log4x לבסיס 2:
log4x = log2xlog24 = log2x2
📐 מעבר בסיס
log2x + log2x2 = 6 ⟹ 32log2x = 6
log2x = 4 ⟹ x = 24 = 16
📐 הגדרת הלוגריתם
x = 16 – בתחום ✓
✅ פתרון סופי: x = 16
📐 מעבר בסיס
logab = ln bln a = log blog a
📐 הגדרת הלוגריתם
logab = c ⟺ ac = b
כאשר a > 0 , a ≠ 1 , b > 0
כאשר a > 0 , a ≠ 1 , b > 0
תרגיל 5 – בגרות 572 קיץ 2023 מועד ב׳
חיתוך עם ציר ה־x : המונה מתאפס.
ln x + ln a = 0
ln(a · x) = 0
📐 לוגריתם של מכפלה
a · x = e0 = 1 ⟹ x = 1a
📐 הגדרת הלוגריתם
בדיקה: x = 1a > 0 , ו־1a ≠ a (כי a > 1) ✓
✅ פתרון סופי: (1a , 0)
📐 לוגריתם של מכפלה
loga(x · y) = logax + logay
📐 הגדרת הלוגריתם
logab = c ⟺ ac = b
כאשר a > 0 , a ≠ 1 , b > 0
כאשר a > 0 , a ≠ 1 , b > 0
תרגיל 6 – בגרות 572 קיץ 2026 מועד א׳
ln23 − a = ln 10
📐 לוגריתם של מנה
23 − a = 10
📐 שוויון לוגריתמים
2 = 30 − 10a ⟹ 10a = 28 ⟹ a = 2.8
a = 2.8 בין 1 ל־3 בתחום ✓
✅ פתרון סופי: a = 2.8
📐 לוגריתם של מנה
logaxy = logax − logay
📐 שוויון לוגריתמים
logaA = logaB ⟹ A = B
📌 סיכום התשובות
תרגיל 1
x ≈ 1.71
תרגיל 2
x = ln 2 , x = ln 3
תרגיל 3
x = 4
תרגיל 4
x = 16
תרגיל 5
(1a , 0)
תרגיל 6
a = 2.8
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא